Phần Bù Đại Số

Sự quan niệm.

Bạn đang xem: Phần bù đại số

Người vị thành niênphần tử được Hotline là định thức, bao gồm những thành phần còn lại sau khi xóatôi-oh thoát nước vàjcột vật dụng tại giao điểm của thành phần này. Yếu tố quyết định nhỏ n-th order bao gồm order ( n- một). Chúng tôi sẽ biểu lộ nó bằng.

ví dụ 1Để mang lại được

*
, kế tiếp
*
.

Tthấp thanh niên này có được từ A bằng phương pháp xóa mặt hàng thứ hai cùng cột vật dụng bố.

Sự khái niệm.Phnghiền cộng đại sốphần tử được hotline là phần tử tương ứng, nhân cùng với nat.e

*
, ở đâutôi-số cái vàj-các cột trên giao điểm của bộ phận đã mang đến.

VІІІ.(Sự phân tung của định thức bên trên những thành phần của một vài chuỗi). Định thức bằng tổng những tích của những phần tử của một mặt hàng làm sao kia với những phép cộng đại số tương xứng của bọn chúng.

*
.

ví dụ như 2 Hãy để sau đó

*
.

lấy một ví dụ 3 Hãy tra cứu định thức của ma trận, mở rộng nó theo các bộ phận của hàng đầu tiên.

Về khía cạnh vẻ ngoài, định lý này và các đặc thù khác của định thức cho đến nay chỉ hoàn toàn có thể áp dụng cho những định thức của ma trận không đảm bảo hơn bậc bố, vì chưng họ không xét mang lại những định thức không giống. Định nghĩa tiếp sau đây vẫn mở rộng những thuộc tính này cho những nguyên tố đưa ra quyết định của ngẫu nhiên sản phẩm từ bỏ nào.

Sự tư tưởng. phiên bản ngãma trận MỘT bậc n là một vài được xem bằng cách sử dụng vận dụng tuần từ của định lý phân rã với các tính chất không giống của định thức.

quý khách hoàn toàn có thể kiểm soát rằng tác dụng tính toán thù ko dựa vào vào lắp thêm tự vận dụng các trực thuộc tính bên trên cùng các sản phẩm với cột nào. Định thức hoàn toàn có thể được xác định duy nhất bằng cách sử dụng tư tưởng này.

Mặc cho dù định nghĩa này sẽ không chứa công thức rõ ràng nhằm kiếm tìm định thức, nhưng mà nó cho phép các bạn tìm kiếm định thức bằng phương pháp rút gọn gàng thành định thức của ma trận có bậc rẻ rộng. Những quan niệm điều này được Hotline là tái diễn.

Ví dụ 4 Tính định thức:.

Mặc cho dù định lý phân rã rất có thể được áp dụng mang đến bất kỳ hàng hoặc cột làm sao của một ma trận cố định, sẽ sở hữu được không nhiều tính toán thù hơn lúc phân tích bên trên một cột chứa càng những số 0 càng tốt.

Vì ma trận không tồn tại bộ phận nào bởi 0 phải chúng ta nhận được bọn chúng bằng phương pháp sử dụng ở trong tính 7). Nhân hàng đầu tiên tiếp tục cùng với những số (-5), (-3) với (-2) rồi cùng nó vào các sản phẩm thứ hai, 3 cùng 4 cùng nhấn được:

Chúng tôi mở rộng định thức kết quả vào cột trước tiên và dấn được:

*
(lôi ra từ bỏ loại thứ nhất (–4), trường đoản cú loại thứ 2 - (–2), từ cái sản phẩm 3 - (–1) theo đặc điểm 4)
*

(vày định thức đựng hai cột tỷ lệ).

§ 1.3. Một số nhiều loại ma trận và định thức của chúng

Sự quan niệm. m vuông ma trận không tồn tại phần tử như thế nào dưới hoặc bên trên mặt đường chéo cánh chính(= 0 lúc tôij, hoặc = 0 cơ hội tôij)vẫn gọihình tam giác.

Chúng ta thường xuyên nói đến các hành vi với ma trận. Cụ thể là vào quá trình học tập bài giảng này, các bạn sẽ học phương pháp tìm ma trận nghịch hòn đảo. Học hỏi. mặc khi Khi toán học chặt chẽ.

Ma trận nghịch đảo là gì? Tại đây chúng ta cũng có thể đúc rút sự tương tự cùng với các số tất cả đi tất cả lại: chẳng hạn, hãy xem xét số 5 sáng sủa và số cứu giúp của chính nó. Tích của những số này bằng một:. Điều này tương tự như cùng với ma trận! Tích của ma trận với nghịch hòn đảo của chính nó là - ma trận đơn vị chức năng, là ma trận giống như của đơn vị số. Tuy nhiên, điều đầu tiên, họ đang giải quyết và xử lý một vấn đề thực tế đặc trưng, chính là họ đã học tập biện pháp tìm thấy ma trận siêu nghịch đảo này.

Quý Khách cần biết hầu như gì để hoàn toàn có thể tìm được ma trận nghịch đảo? quý khách hàng cần có tác dụng ra quyết định nguyên tố quyết định. Bạn bắt buộc phát âm đa số gì là ma trận cùng hoàn toàn có thể tiến hành một số hành vi cùng với chúng.

Có nhì cách thức chủ yếu để tra cứu ma trận nghịch đảo: qua phnghiền cùng đại số Và thực hiện những phép chuyển đổi cơ bản.

Hôm ni họ sẽ nghiên cứu và phân tích biện pháp trước tiên, dễ dàng rộng.

Hãy ban đầu với điều kinh khủng tốt nhất cùng cấp thiết gọi nổi. Xem xét Quảng trường ma trận. Ma trận nghịch hòn đảo hoàn toàn có thể được search thấy bằng cách làm sau:

Đâu là định thức của ma trận, là ma trận đưa vị của những phần bù đại số của những thành phần khớp ứng của ma trận.

Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo chỉ mãi mãi đối với ma trận vuông, ma trận "hai nhân hai", "ba nhân ba", v.v.

Ký hiệu: Nhỏng chúng ta cũng có thể đã nhận thấy, nghịch đảo của ma trận được thể hiện bởi một chỉ số trên

Hãy bước đầu với trường vừa lòng dễ dàng và đơn giản nhất - ma trận nhì nhân nhị. Tất nhiên, liên tiếp tuyệt nhất, "bố nhân ba" là đề xuất, tuy thế, tuy vậy, tôi thực sự khulặng bạn nên nghiên cứu và phân tích một trách nhiệm đơn giản và dễ dàng hơn để tò mò phương pháp bình thường của giải pháp.

Ví dụ:

Tìm nghịch hòn đảo của ma trận

Chúng tôi đưa ra quyết định. Chuỗi các hành vi được phân tạo thành các điểm một biện pháp thuận lợi.

1) Thứ nhất chúng ta tra cứu định thức của ma trận.

*

Nếu gọi về hành động này không xuất sắc, hãy xem thêm tư liệu Làm cố kỉnh làm sao nhằm tính định thức?

Quan trọng! Nếu định thức của ma trận là SỐ KHÔNG- ma trận nghịch hòn đảo KHÔNG TỒN TẠI.

Trong ví dụ đang được cẩn thận, nó hóa ra, Có nghĩa là mọi máy hầu như theo đồ vật trường đoản cú.

2) Tìm ma trận của tphải chăng vị thành niên.

Để đáp án vấn đề của chúng ta không độc nhất vô nhị thiết phải ghi nhận tthấp thanh niên là gì, tuy vậy cần hiểu bài viết Cách tính định thức.

Ma trận của tthấp vị thành niên bao gồm thuộc size với ma trận, tức thị vào ngôi trường đúng theo này. Trường hợp nhỏ, nó vẫn chính là tìm kiếm tư số với đặt nó cố kỉnh vày vệt hoa thị.

Quay lại ma trận của chúng tôi Đầu tiên, hãy quan sát vào thành phần bên trên thuộc bên trái: Làm cố như thế nào để search thấy nó tín đồ vị thành niên?Và điều này được tiến hành như vậy này: MENTALLY gạch quăng quật hàng với cột mà lại bộ phận này phía bên trong đó: Số còn lại là thành phần phụ của phần tử sẽ cho, cơ mà chúng tôi viết vào ma trận về ttốt thanh niên của mình: Xem xét bộ phận ma trận sau: Tinh thần gạch men quăng quật sản phẩm với cột nhưng phần tử này nằm trong đó: Những gì còn lại là phần bé dại của bộ phận này, nhưng mà Shop chúng tôi viết vào ma trận của mình: Tương tự, Cửa Hàng chúng tôi chăm chú các phần tử của hàng thiết bị hai và kiếm tìm các bộ phận phụ của chúng: Sẵn sàng.

Nó đơn giản dễ dàng. Trong ma trận của tphải chăng vị thành niên, bạn phải THAY ĐỔI DẤU HIỆU mang lại nhì số: Chính hầu hết số lượng này mà lại tôi vẫn khoanh!

*
là ma trận những phần prúc đại số của các thành phần khớp ứng của ma trận.

Và chỉ một cái gì đó…

4) Tìm ma trận chuyển vị của những phxay cộng đại số.

*
là ma trận gửi vị của các phần bù đại số của những thành phần khớp ứng của ma trận.

5) Trả lời.

Hãy nhớ công thức của Cửa Hàng chúng tôi Tất cả được search thấy!

Vậy ma trận nghịch hòn đảo là:

*

Tốt tuyệt nhất hãy nhằm nguim câu vấn đáp. KHÔNG CẦN phân chia từng thành phần của ma trận cho 2, vị đang chiếm được các số phân số. Sắc thái này được thảo luận chi tiết hơn vào cùng một bài bác báo. Hành động cùng với ma trận.

Làm núm làm sao để soát sổ các giải pháp?

Phnghiền nhân ma trận phải được thực hiện

Kiểm tra:

*

đã có nhắc ma trận 1-1 vị là 1 trong những ma trận với những đơn vị chức năng trên đường chéo chủ yếu với số ko sinh sống rất nhiều vị trí khác.

Do đó, ma trận nghịch đảo được tìm kiếm thấy đúng mực.

Nếu bạn tiến hành một hành vi, thì hiệu quả cũng trở nên là một trong ma trận nhận dạng. Đây là 1 trong trong các không nhiều ngôi trường hòa hợp phnghiền nhân ma trận rất có thể hân oán vị, rất có thể tìm hiểu thêm biết tin vào bài xích Các nằm trong tính của những phxay tân oán bên trên ma trận. Biểu thức ma trận. Cũng để ý rằng trong quy trình kiểm soát, hằng số (phân số) được đem về vùng phía đằng trước với được xử trí làm việc cuối - sau phép nhân ma trận. Đây là 1 trong tiêu chuẩn.

Hãy gửi qua một ngôi trường thích hợp phổ cập hơn trong thực tiễn - ma trận bố nhân ba:

Ví dụ:

Tìm nghịch hòn đảo của ma trận

*

Thuật toán hoàn toàn như thể cùng với trường vừa lòng nhì nhân nhị.

Chúng ta kiếm tìm ma trận nghịch đảo bằng bí quyết :, ma trận đưa vị của các phần bù đại số của các phần tử tương xứng của ma trận là chỗ nào.

1) Tìm định thức ma trận.

*
Tại trên đây nguyên tố quyết định được bật mí trên chiếc đầu tiên.

Trong khi, đừng quên điều này, Tức là rất nhiều thứ hồ hết ổn định - sống thọ ma trận nghịch đảo.

2) Tìm ma trận của tthấp vị thành niên.

Ma trận trẻ thiếu niên tất cả trang bị ngulặng "bố nhân ba"

*
, cùng bọn họ phải tra cứu chín số.

Tôi vẫn cẩn thận cụ thể một số trong những ttốt vị thành niên:

Xem xét thành phần ma trận sau:

*
MENTALLY gạch quăng quật sản phẩm cùng cột nhưng mà bộ phận này phía trong đó:
*

Bốn số còn sót lại được viết trong định thức "hai bằng hai"

*
Yếu tố ra quyết định nhị x hai này cùng là một trong những phần tử phú của bộ phận đang cho
. Nó cần phải tính toán:
*
Tất cả phần nhiều thiết bị, tthấp vị thành niên được tìm kiếm thấy, Shop chúng tôi viết nó vào ma trận tphải chăng vị thành niên của chúng tôi:
*

Như bạn có thể sẽ đân oán, gồm chín định thức hai nhân nhì để tính toán. Tất nhiên, quá trình này vô cùng ảm đạm tẻ, tuy nhiên trường hợp không hẳn là rất khó độc nhất vô nhị, nó hoàn toàn có thể tồi tệ hơn.

Vâng, nhằm củng rứa - search một tthấp thanh niên khác trong số bức tranh:

*
Cố cầm cố từ tính toán phần sót lại của tthấp thanh niên.

Kết trái cuối cùng:

*
là ma trận các bộ phận con của các thành phần tương xứng của ma trận.

Thực tế là tất cả những tphải chăng thiếu niên hóa ra là xấu đi là hoàn toàn trùng hợp.

3) Tìm ma trận của những phép cùng đại số.

Trong ma trận của tphải chăng thiếu niên, bắt buộc THAY ĐỔI DẤU HIỆUđối với những yếu tố sau:

*
Trong trường hòa hợp này:

Việc tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo mang lại ma trận "bốn x bốn" ko được coi như xét, bởi có một cô giáo bạo lực mới hoàn toàn có thể giao một nhiệm vụ những điều đó (mang lại học sinh tính một định thức "tư x bốn" với 16 định thức "bố x ba") . Trong thực tế của mình, chỉ có một ngôi trường vừa lòng những điều đó, cùng khách hàng của bài xích khám nghiệm vẫn yêu cầu trả giá chỉ cho sự dày vò của mình tương đối mắc =).

Trong một vài sách giáo khoa, sách gợi ý, bạn có thể kiếm tìm thấy một cách tiếp cận khá không giống để tìm kiếm ma trận nghịch đảo, nhưng lại tôi khuyên bạn nên sử dụng thuật toán giải trên. Tại sao? Bởi vì chưng Tỷ Lệ bị lầm lẫn trong các phép tính và các dấu hiệu thấp hơn nhiều.

Ttốt thanh niên ma trận

Hãy nhằm một hình vuông vắn ma trận A, đơn hàng trang bị n. Người vị thành niên một vài phần tử a ij, yếu tố đưa ra quyết định ma trậnđơn hàng vật dụng n được Call là phiên bản ngã(n - 1) -lắp thêm từ bỏ, nhận được trường đoản cú lắp thêm từ bỏ thuở đầu bằng cách xóa hàng với cột trên giao điểm của phần tử đã lựa chọn a ij. Ký hiệu là M ij.

Xem thêm: Ncf Net Cash Flow Là Gì - 3 Cách Căn Bản Tính Dòng Tiền Thuần

Hãy xem một ví dụ nguyên tố đưa ra quyết định ma trận 3 - đồ vật trường đoản cú của nó:

Sau đó theo tư tưởng người vị thành niên,người thiếu niên M 12 khớp ứng với phần tử a 12 sẽ là bản ngã:

*

Đồng thời, với việc hỗ trợ ttốt thiếu niên có thể góp tính toán dễ dãi hơn nguyên tố quyết định ma trận. Cần phân diệt nguyên tố đưa ra quyết định ma trận dọc theo một vài loại và kế tiếp phiên bản té sẽ bằng tổng toàn bộ những thành phần của mặt hàng này và những thành phần phụ của bọn chúng. Sự phân diệt nguyên tố quyết định ma trận 3 - thứ từ của nó đang như thế này:

*

*

Dấu trước tích là (-1) n, trong các số đó n = i + j.

Phnghiền cùng đại số:

Phnghiền cùng đại số bộ phận a ij được Gọi là thành phần của nó người thiếu niên, được đem bằng lốt "+" giả dụ tổng (i + j) là số chẵn cùng bằng dấu "-" nếu như tổng này là số lẻ. Ký hiệu là A ij. A ij u003d (-1) i + j × M ij.

Sau kia, bạn có thể format lại ở trong tính bên trên. Định thức ma trận bởi tổng tích các bộ phận của một sản phẩm nhất quyết (sản phẩm hoặc cột) ma trận khớp ứng cùng với chúng ta phép cùng đại số. Ví dụ:

*

4. Ma trận nghịch đảo và cách tính của chính nó.

Cho A là một trong những hình vuông ma trậnđơn hàng sản phẩm n.

*

Quảng ngôi trường ma trận A được call là ko suy biến chuyển nếu nguyên tố quyết định ma trận(Δ = det A) ko bởi 0 (Δ = det A ≠ 0). trái lại (Δ = 0) ma trận Nó được Hotline là thái hóa.

Ma trận, liên minch cùng với ma trận Ah, nó được Call là ma trận

*

Nơi A ij - phép cùng đại số bộ phận a ij vẫn mang lại ma trận(nó được định nghĩa theo cách tựa như nlỗi phxay cộng đại số nguyên tố nguyên tố quyết định ma trận).

Ma trận A -1 được call là ma trận nghịch đảo A, ví như điều kiện được đáp ứng: A × A -1 u003d A -1 × A u003d E, trong đó E là 1 ma trận thiết bị từ giống hệt như ma trận NHƯNG. Ma trận A -1 có cùng size với ma trận NHƯNG.

ma trận nghịch đảo

Nếu có hình vuông vắn ma trận X với A thỏa mãn điều kiện: X × A u003d A × X u003d E, trong những số đó E là đơn vị ma trận cùng một đồ vật trường đoản cú, kế tiếp ma trận X được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch hòn đảo vào ma trận A cùng được cam kết hiệu là A -1. Bất kỳ ko thái hóa ma trận Nó gồm ma trận nghịch hòn đảo cùng hơn thế nữa, duy nhất, có nghĩa là, nhằm bình phương ma trận A sẽ tất cả ma trận nghịch hòn đảo, nó là cần thiết với đầy đủ rằng nó bạn dạng té không giống 0.

Để cảm nhận ma trận nghịch hòn đảo áp dụng công thức:

*

Trong đó M ji là tùy lựa chọn bạn thiếu niên yếu tố a ji ma trận NHƯNG.

*

5. Ma trận xếp hạng. Tính tân oán hạng bằng phương pháp áp dụng những phnghiền thay đổi cơ bạn dạng.

Xét một ma trận hình chữ nhật mxn. Hãy bóc tách ra một trong những k sản phẩm với k cột trong ma trận này, 1 £ k £ min (m, n). Từ các thành phần làm việc giao điểm của những sản phẩm cùng cột vẫn chọn, họ vẫn lập định thức của bậc đồ vật k. Tất cả các yếu tố quyết định như thế được điện thoại tư vấn là phần tử ma trận. Ví dụ: đối với một ma trận, chúng ta có thể biên soạn các thành phần bậc hai

*
cùng tphải chăng thanh niên thứ nhất 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Sự định nghĩa. Bậc của ma trận là bậc tối đa của số nhỏ dại khác 0 của ma trận này. Biểu thị hạng của ma trận r (A).

Trong ví dụ trên, hạng của ma trận là hai, ví dụ: hạng nhỏ

Hạng của ma trận được tính tân oán dễ ợt bằng phương thức biến hóa cơ bản. Các phép đổi khác cơ bạn dạng bao gồm:

1) hân oán vị của những hàng (cột);

2) nhân một sản phẩm (cột) cùng với một số trong những khác 0;

3) thêm vào các bộ phận của một sản phẩm (cột) các bộ phận khớp ứng của một mặt hàng (cột) không giống, trước này đã được nhân với một số một mực.

Các phxay thay đổi này không làm cho đổi khác phong cách của ma trận, bởi vì biết rằng 1) Khi các mặt hàng được hân oán vị, định thức thay đổi vết với ví như nó ko bởi 0, thì nó đang không; 2) Lúc nhân mặt hàng của định thức cùng với một số trong những không bằng 0, định thức sẽ được nhân với số này; 3) phép chuyển đổi cơ bản đồ vật tía hoàn toàn ko làm đổi khác định thức. Do đó, bằng cách tiến hành các phnghiền thay đổi cơ bạn dạng bên trên ma trận, tín đồ ta hoàn toàn có thể chiếm được một ma trận cơ mà từ kia dễ dàng tính được hạng của nó cùng vì vậy, của ma trận thuở đầu.

Sự quan niệm. Ma trận nhận được tự ma trận thực hiện những phxay đổi khác cơ phiên bản được Gọi là tương tự và được ký hiệu là NHƯNGTRONG.

Định lý. Hạng của ma trận ko biến đổi trong những phxay đổi khác ma trận sơ cấp cho.

Với sự hỗ trợ của các phxay biến hóa cơ bạn dạng, fan ta có thể đưa ma trận về dạng Call là bước, khi ấy Việc tính hạng của chính nó ko nặng nề.

Ma trậnđược gọi là bước trường hợp nó gồm dạng:

Rõ ràng, kiểu của ma trận bước thông qua số hàng khác 0 , trên vị bao gồm một vài nhỏ của thứ từ trang bị, ko bởi 0:

*
.

Sự khái niệm. Nếu bọn họ lựa chọn tùy ý k mặt hàng với k cột trong định thức bậc n, thì những bộ phận trên giao điểm của các sản phẩm và cột được chỉ định và hướng dẫn tạo thành một ma trận vuông bậc k. Định thức của một ma trận vuông điều này được điện thoại tư vấn là vật dụng trường đoản cú máy k .

Ký hiệu là M k. Nếu k = 1 thì hạng tử số 1 là 1 phần tử của định thức.

Các thành phần trên giao điểm của (n-k) sản phẩm với (n-k) cột sót lại chế tác thành một ma trận vuông tất cả bậc (n-k). Định thức của một ma trận những điều đó được Gọi là nhỏ, thêm vàomang đến M vật dụng yếu ớt k. Ký hiệu M n-k.

Phần bù đại số của phụ tử M k bọn họ vẫn hotline nó là một phú bổ sung cập nhật, được đem bởi lốt “+” hoặc “-”, tùy ở trong vào câu hỏi tổng những số của toàn bộ các mặt hàng cùng cột mà lại M k nhỏ nằm ở vị trí đó là chẵn tuyệt lẻ.

Nếu k = 1 thì phần bù đại số của thành phần aik tính theo công thức

MỘT ik = (- 1) i + k M ik, nơi M ik- đồ vật tự nhỏ dại (n-1).

Định lý. Tích của một con bậc k với phần bù đại số của nó bởi tổng của một vài hạng tử nhất định của định thức D n.

Bằng chứng

1. Hãy chú ý một ngôi trường hợp đặc biệt quan trọng. Để M hình dạng k chiếm phần góc bên trên bên trái của định thức, Tức là nó ở trong các mặt hàng bao gồm số 1, 2, ..., k thì M đẳng cấp vẫn chiếm những hàng k + 1, k + 2, ..., n.

Hãy tính phần bù đại số của M k nhỏ. Theo định nghĩa,

MỘT n-k = (- 1) s M n-k, trong đó s = (1 + 2 + ... + k) + (1 + 2 + ... + k) = 2 (1 + 2 + ... + k), thì

(-1) s= 1 với A n-k = M n-k. Lấy

M k MỘT n-k = M k M n-k. (*)

Chúng tôi đem một số hạng tùy ý của M k

*
, (1)

trong số đó s là mốc giới hạn hòn đảo ngược vào sự cố kỉnh thế

với một thuật ngữ tùy ý của M prúc n-k

trong những số ấy s * là mốc giới hạn hòn đảo ngược vào sự nỗ lực thế

*
(4)

Nhân (1) với (3), ta được

Tích tất cả n thành phần nằm tại vị trí những mặt hàng và cột khác biệt của định thức D. Do kia, tích này là thành viên của định thức D. Dấu của tích (5) được xác minh bởi tổng những nghịch đảo trong số phnghiền sửa chữa (2) cùng (4), cùng vệt của tích tựa như trong định thức D được xác minh bằng số nghịch hòn đảo sk vào phnghiền thay thế

*

Rõ ràng, s k = s + s *.

Do đó, trlàm việc về đẳng thức (*), bọn họ thu được sản phẩm M k MỘT n-k chỉ bao hàm các pháp luật của định thức.

2. Để hạ nhân M k ở trong số mặt hàng tất cả số tôi 1, tôi 2, ..., tôi k với trong số cột có số j 1, j 2, ..., j k, và tôi 1 Và j1

Sử dụng các trực thuộc tính của định thức, với sự trợ giúp của những phnghiền gửi vị, họ chuyển số nhỏ tuổi quý phái góc bên trên phía trái. Ta thu được định thức D ¢ trong các số đó M bé dại tuyệt nhất k chiếm góc trên phía trái, với phú bổ sung cập nhật M ¢ n-k là góc bên dưới mặt đề xuất, kế tiếp, theo gần như gì đã được minh chứng trong đoạn 1, họ nhận được rằng sản phẩm M k M ¢ n-k là tổng một trong những phần tử của định thức D ¢ rước vết riêng. Nhưng D ¢ cảm nhận từ bỏ D với ( i 1 -1) + (i 2 -2) + ... + (i k -k) = (i 1 + i 2 + ... + i k) - (1 + 2 + ... + k) gửi vị chuỗi cùng ( j 1 -1) + (j 2 -2) + ... + (j k -k) = (j 1 + j 2 + ... + j k) - (1 + 2 + ... + k) đưa vị cột. Đó là, đầy đủ đồ vật đã làm được thực hiện

(i 1 + i 2 + ... + ik) - (1 + 2 + ... + k) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - (1 + 2 + ... + k ) = (i 1 + i 2 + ... + ik) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - 2 (1 + 2 + ... + k) = s-2 (1 + 2 + ... + k). Do kia, các số hạng của định thức D với D ¢ khác biệt vào lốt (-1) s-2 (1 + 2 + ... + k) = (- 1) s, cho nên vì thế, tích (-1) s M k M ¢ n-k vẫn gồm một số số hạng cố định của định thức D, được đem thuộc những tín hiệu như chúng có trong định thức này.

Định lý Laplace. Nếu chúng ta chọn tùy ý k sản phẩm (hoặc k cột) 1 £ k £ n-1 trong các định thức lắp thêm n, thì tổng những tích của tất cả các nhỏ thiết bị k bao gồm trong số hàng sẽ chọn và phần bổ sung đại số của chúng bằng định thức D.

Bằng chứng

Chọn hàng ngẫu nhiên tôi 1, tôi 2, ..., tôi k cùng chứng minh rằng

Trước đó, tín đồ ta đang minh chứng rằng toàn bộ những phần tử nghỉ ngơi phía bên trái của đẳng thức được cất dưới dạng những số hạng vào định thức D. Hãy chứng tỏ rằng từng số hạng của định thức D chỉ ở trong một trong số số hạng. Thật vậy, phần đa t s tất cả hiệ tượng t s =. trường hợp trong thành phầm này, Cửa Hàng chúng tôi khắc ghi các nhân tố có chỉ số thứ nhất tôi 1, tôi 2, ..., tôi k, cùng biên soạn thành phầm của họ, tiếp đến bạn cũng có thể thấy rằng sản phẩm thu được ở trong về phụ thiết bị k. Do đó, những số hạng còn lại, được rước tự n-k mặt hàng cùng n-k cột còn lại, tạo thành thành 1 phần tử trực thuộc phần prúc bổ sung, với, gồm tính mang lại vệt, dồn phần bù đại số, do đó, bất kỳ t s chỉ rơi vào một trong những trong những tích, vấn đề đó minh chứng định lý.

Hậu quả(định lý về knhị triển của định thức liên tiếp) . Tổng các tích của các phần tử của một trong những hàng của định thức với các phnghiền cộng đại số khớp ứng bằng định thức.

(Chứng minc nlỗi một bài tập.)

Định lý. Tổng những tích của các thành phần thuộc hàng vật dụng i của định thức và phần đại số tương xứng cùng với những thành phần của mặt hàng vật dụng j (i¹j) bằng 0.

Trong chủ thể này, chúng tôi cẩn thận những có mang đại số phần bù với phần phú. Phần trình diễn của tư liệu dựa trên các thuật ngữ được lý giải trong chủ thể "Ma trận. Các các loại ma trận. Các thuật ngữ cơ bản". Chúng ta cũng sẽ cần một trong những công thức để tính toán những định thức. Vì có không ít thuật ngữ vào chủ đề này liên quan mang lại tthấp vị thành niên với bổ sung cập nhật đại số, tôi đã góp phần tóm tắt để giúp bạn thuận tiện tìm hiểu tài liệu hơn.

Con $ M_ (ij) $ của thành phần $ a_ (ij) $

$ M_ (ij) $ yếu hèn tố$ a_ (ij) $ ma trận $ A_ (n lần n) $ đánh tên mang lại định thức của ma trận nhận được trường đoản cú ma trận $ A $ bằng cách xóa mặt hàng trang bị i với cột máy j (tức là sản phẩm với cột tại giao điểm cơ mà thành phần ở $ a_ (ij) $).

Ví dụ: hãy lưu ý ma trận vuông bậc 4: $ A = left ( begin (array) (ccc) 1 và 0 & -3 & 9 \ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 và 25 và 84 \ 3 và 12 & -5 & 58 over (mảng) phải) $. Tìm phần tử nhỏ của thành phần $ a_ (32) $, tức là tìm $ M_ (32) $. trước hết, Shop chúng tôi viết $ M_ (32) $ nhỏ dại, cùng tiếp nối công ty chúng tôi tính cực hiếm của chính nó. Để soạn $ M_ (32) $, chúng ta xóa hàng máy tía với cột máy nhị khỏi ma trận $ A $ (nó nằm tại giao điểm của mặt hàng lắp thêm bố với cột thiết bị nhì mà lại bộ phận $ a_ (32) $ là nằm). Chúng ta vẫn cảm nhận một ma trận bắt đầu, nguyên tố ra quyết định là số nhỏ bắt buộc $ M_ (32) $:

Phần nhỏ dại này rất giản đơn tính tân oán bằng phương pháp thực hiện cách làm số 2 từ bỏ chủ đề tính toán:

$$ M_ (32) = left | begin (array) (ccc) 1 & -3 & 9 \ 2 & 11 & 5 \ 3 & -5 & 58 kết thúc (array) right | = 1 cdot 11 cdot 58 + (- 3) cdot 5 cdot 3 + 2 cdot (-5) cdot 9-9 cdot 11 cdot 3 - (- 3) cdot 2 cdot 58-5 cdot (-5) cdot 1 = 579. $$

Vì vậy, phần tử nhỏ dại của thành phần $ a_ (32) $ là 579, có nghĩa là $ M_ (32) = 579 $.

Đôi khi, gắng vì chưng các từ bỏ "phụ của yếu tố ma trận" trong tài liệu, có "phú của nguyên tố quyết định". Bản chất vẫn duy trì nguyên: để đưa phần tử nhỏ tuổi tuyệt nhất của phần tử $ a_ (ij) $, bạn phải xóa sản phẩm thứ i với cột thứ j khỏi định thức ban sơ. Các phần tử còn lại được viết thành một định thức new, là bộ phận nhỏ dại của bộ phận $ a_ (ij) $. Ví dụ, hãy tìm số nhỏ của phần tử $ a_ (12) $ của định thức $ left | begin (array) (ccc) -1 và 3 & 2 \ 9 & 0 và -5 \ 4 & -3 & 7 over (array) right | $. Để viết $ M_ (12) $ phụ yêu cầu, họ bắt buộc xóa hàng đầu tiên với cột sản phẩm hai khỏi định thức đang cho:

*

Để tìm kiếm quý hiếm của phân thức này, chúng ta áp dụng cách làm số 1 của chăm đề tính những định thức bậc hai cùng bậc ba:

$$ M_ (12) = left | begin (array) (ccc) 9 và -5 \ 4 và 7 over (array) right | = 9 cdot 7 - (- 5) cdot 4 = 83. $$

Vì vậy, phần tử nhỏ dại của thành phần $ a_ (12) $ là 83, Có nghĩa là $ M_ (12) = 83 $.

Phần bù đại số $ A_ (ij) $ của bộ phận $ a_ (ij) $

Cho ma trận vuông $ A_ (n times n) $ (có nghĩa là ma trận vuông bậc n) được mang lại trước.

Phnghiền cộng đại số$ A_ (ij) $ yếu đuối tố$ a_ (ij) $ của ma trận $ A_ (n times n) $ được kiếm tìm thấy theo công thức sau: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) cdot M_ (ij), $ $

trong số đó $ M_ (ij) $ là nhỏ của bộ phận $ a_ (ij) $.

Tìm phần bù đại số của bộ phận $ a_ (32) $ của ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) 1 & 0 và -3 và 9 \ 2 và -7 và 11 và 5 \ -9 & 4 và 25 và 84 \ 3 & 12 và -5 & 58 over (array) right) $, có nghĩa là tra cứu $ A_ (32) $. Trước trên đây, Cửa Hàng chúng tôi vẫn kiếm tìm thấy số nhỏ dại $ M_ (32) = 579 $, bởi vậy Shop chúng tôi thực hiện kết quả:

*

Đôi khi, khi search những phần bù đại số, phần phú ko được xem riêng biệt, và chỉ với sau đó phần bù của chính nó. Mục nhỏ tuổi bị bỏ qua. Ví dụ: tra cứu $ A_ (12) $ trường hợp $ A = left ( begin (array) (ccc) -5 và 10 & 2 \ 6 và 9 và -4 \ 4 & -3 & 1 over ( mảng) phải) $. Theo cách làm $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) cdot M_ (12) = - M_ (12) $. Tuy nhiên, để sở hữu được $ M_ (12) $, chỉ cần gạch men bỏ bậc nhất tiên với cột vật dụng nhị của ma trận $ A $, vậy tại vì sao bắt buộc ra mắt thêm một cam kết hiệu mang đến số nhỏ? Chúng ta hãy ngay lập tức lập tức viết ra biểu thức bỏ phần bù đại số $ A_ (12) $:

*

Bậc nhỏ dại sản phẩm công nghệ k của ma trận $ A_ (m lần n) $

Nếu trong nhì phần trước bọn họ chỉ nói đến ma trận vuông, thì tại đây bọn họ cũng biến thành nói đến ma trận hình chữ nhật, trong các số ấy số sản phẩm không tốt nhất thiết yêu cầu thông qua số cột. Vì vậy, đến trước ma trận $ A_ (m times n) $, tức là một ma trận cất m mặt hàng và n cột.

Thđọng tự đồ vật k bé dại của ma trận $ A_ (m times n) $ là định thức bao gồm các bộ phận nằm tại vị trí giao điểm của k mặt hàng với k cột của ma trận $ A $ (mang sử rằng $ k≤ m $ và $ k≤ n $ ).

Ví dụ: hãy chăm chú ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 0 và -3 và 9 \ 2 & 7 & 14 & 6 \ 15 & -27 và 18 & 31 \ 0 và 1 & 19 & 8 \ 0 và -12 và đôi mươi và 14 \ 5 & 3 và -21 và 9 \ 23 và -10 & -5 và 58 end (array) right) $ cùng viết ra cho nó đồ vật gi hoặc 1 phần nhỏ tuổi của thứ từ bỏ sản phẩm tía. Để viết một prúc bậc tía, họ nên lựa chọn tía hàng cùng bố cột ngẫu nhiên của ma trận này. lấy một ví dụ, chúng ta hãy rước các mặt hàng gồm số 2, 4, 6 và các cột có tiên phong hàng đầu, 2, 4. Tại giao điểm của các hàng cùng cột này, những thành phần của số phú phải sẽ được xác định. Trong hình, các thành phần của nhỏ nhỏ tuổi được hiển thị bởi màu xanh lam:

*

Tphải chăng thiếu niên của solo bậc nhất tiên nằm tại vị trí giao điểm của một hàng và một cột, tức là những phần tử số 1 bởi những phần tử của ma trận sẽ mang đến.

Con bậc đồ vật k của ma trận $ A_ (m times n) = (a_ (ij)) $ được điện thoại tư vấn là đa phần, nếu đường chéo chủ yếu của đường chéo cánh phụ sẽ mang lại chỉ cất các bộ phận con đường chéo thiết yếu của ma trận $ A $.

Hãy nhằm tôi nhắc chúng ta rằng các thành phần đường chéo đó là đầy đủ thành phần ma trận có chỉ số bằng nhau: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $, v.v. lấy ví dụ, so với ma trận $ A $ sẽ xét sinh hoạt trên, các phần tử này là $ a_ (11) = - 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = 8 $. Chúng được tô màu hồng vào hình:

*

ví dụ như, nếu như trong ma trận $ A $, họ gạch ốp vứt những sản phẩm và cột có số 1 và 3, thì trên giao điểm của chúng sẽ sở hữu được các thành phần của bậc thiết bị nhị, trên phố chéo thiết yếu của nó sẽ chỉ bao gồm con đường chéo. các phần tử của ma trận $ A $ (các thành phần $ a_ (11) = -1 $ cùng $ a_ (33) = 18 $ ma trận $ A $). Do đó, Cửa Hàng chúng tôi nhận thấy phụ chính của deals đồ vật hai:

*

Đương nhiên, chúng ta có thể mang các mặt hàng và cột khác - ví dụ, với số 2 cùng 4, trong lúc mang một số phụ chủ yếu khác của vật dụng từ bỏ thiết bị nhị.

Đặt một trong những $ M $ nhỏ tuổi bậc lắp thêm k của ma trận $ A_ (m times n) $ khác 0, Có nghĩa là $ M neq 0 $. Trong trường đúng theo này, tất cả tphải chăng thiếu niên bao gồm thứ từ cao hơn k đều bởi ko. Sau kia $ M $ nhỏ tuổi được Điện thoại tư vấn là căn nguyên, cùng những mặt hàng và cột cơ mà các phần tử của phần phụ cơ phiên bản được để lên đó được call là mặt đường cơ sở Và cột đại lý.

Ví dụ: hãy để mắt tới ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 0 & 3 và 0 & 0 \ 2 và 0 & 4 và 1 và 0 \ 1 và 0 & -2 & -1 và 0 \ 0 & 0 và 0 và 0 & 0 end (mảng) phải) $. Chúng ta viết số lượng nhỏ tuổi của ma trận này, những bộ phận của chúng nằm ở vị trí giao điểm của những hàng với số 1, 2, 3 với cột cùng với tiên phong hàng đầu, 3, 4. Chúng ta nhận thấy một vài nhỏ dại bậc ba:

*

Hãy cùng tìm cực hiếm của phân thức này bằng bí quyết số 2 tự siêng đề tính những định thức bậc 2 và bậc 3:

$$ M = left | begin (array) (ccc) -1 & 3 & 0 \ 2 và 4 & 1 \ 1 và -2 và -1 kết thúc (array) right | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Vậy $ M = 11 neq 0 $. Bây giờ đồng hồ họ hãy thử viết ngẫu nhiên tthấp thiếu niên như thế nào, lắp thêm trường đoản cú của chúng cao hơn tía. Để thực hiện một vài nhỏ dại của bậc lắp thêm tư, chúng ta đề nghị sử dụng dòng đồ vật bốn, tuy vậy, tất cả những phần tử của dòng này phần nhiều bởi ko. Do đó, vào bất kỳ tthấp vị thành niên bậc 4 nào sẽ có được hàng 0, Có nghĩa là toàn bộ các tthấp vị thành niên bậc 4 phần nhiều bằng 0. Chúng tôi cần thiết biên soạn những phần nhỏ tuổi của giao dịch sản phẩm công nghệ năm trsinh hoạt lên, bởi ma trận $ A $ chỉ gồm 4 hàng.

Chúng tôi đã search thấy một phú bậc tía ko bởi ko. Trong trường phù hợp này, tất cả trẻ vị thành niên của những đơn hàng cao hơn đều bởi 0, vì thế, tthấp thiếu niên được Shop chúng tôi xem là cơ bản. Các mặt hàng của ma trận $ A $, trên kia đặt những bộ phận của phần bé dại này (đầu tiên, thiết bị nhì và sản phẩm ba), là những sản phẩm cơ bạn dạng cùng các cột thứ nhất, đồ vật tía và thứ bốn của ma trận $ A $ là những cột cơ bạn dạng .

lấy ví dụ này, tất yếu, là bình thường, do mục đích của chính nó là để hiển thị rõ ràng bản chất của trẻ vị thành niên cơ bản. Nói thông thường, rất có thể gồm một số trong những tphải chăng vị thành niên cơ bản, và thường thì quá trình tra cứu tìm tthấp thiếu niên điều này phức hợp cùng phức hợp rộng các.

Xin reviews thêm 1 có mang - tiểu liền kề.

Đặt một trong những bé dại trong những bậc sản phẩm k $ M $ của ma trận $ A_ (m times n) $ nằm tại vị trí giao điểm của k mặt hàng cùng k cột. Hãy thêm một sản phẩm cùng cột nữa vào tập phù hợp các hàng cùng cột này. Thứ đọng trường đoản cú trang bị (k + 1) -th kết quả được Call là tua rua cho $ M $ ttốt thiếu niên.

Ví dụ: hãy cẩn thận ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 và 2 và 0 & -2 và -14 \ 3 & -17 và -3 và 19 và 29 \ 5 và - 6 và 8 & -9 và 41 \ -5 và 11 và 19 & -20 & -98 \ 6 & 12 và đôi mươi & 21 và 54 \ -7 và 10 và 14 và -36 & 79 over (mảng ) đúng) $. Hãy viết 1 phần nhỏ của bậc trang bị nhì, các thành phần của bọn chúng nằm tại giao điểm của sản phẩm số 2 và số 5, cũng giống như cột số 2 và số 4.

*

Hãy thêm mặt hàng tiên phong hàng đầu vào tập hòa hợp những mặt hàng chứa các phần tử của $ M $ nhỏ dại và cột # 5 vào tập hợp các cột. Chúng tôi nhận được một $ M "$ prúc new (đã có thứ tự thiết bị ba), có những thành phần nằm tại vị trí giao điểm của những mặt hàng tiên phong hàng đầu, số 2, số 5 với các cột số 2, số 4, số 5 . Các phần tử của $ M $ nhỏ vào hình được khắc ghi bằng màu hồng cùng các thành phần Cửa Hàng chúng tôi sản xuất $ M $ nhỏ tuổi tất cả màu xanh lục:

*

$ M $ nhỏ "$ là yếu tắc phú giáp ranh $ M $ nhỏ tuổi. Tương từ, thêm sản phẩm # 4 vào tập đúng theo các sản phẩm đựng những phần tử của $ M $ nhỏ với cột # 3 vào tập vừa lòng những cột, bọn họ nhận ra $ M bé dại "" $ (trang bị yếu ớt của thiết bị từ thiết bị ba):

*

$ M "" $ nhỏ tuổi cũng là phụ làm việc biên cương đến $ M $ nhỏ dại.

Số nhỏ dại bậc k của ma trận $ A_ (n lần n) $. Bổ sung phú. Phần bù đại số mang đến nhỏ của ma trận vuông.

Hãy quay lại ma trận vuông. Hãy để Shop chúng tôi reviews khái niệm về một ttốt thiếu niên bổ sung cập nhật.

Cho trước một số trong những $ M $ nhỏ dại bậc k của ma trận $ A_ (n lần n) $. Định thức của thiết bị trường đoản cú (n-k), nhưng những bộ phận của nó nhận được tự ma trận $ A $ sau khi xóa những hàng với cột chứa $ M $ bé dại, được Gọi là phần tử nhỏ dại, bổ sung cập nhật mang lại tphải chăng vị thành niên$ M $.

Ví dụ: hãy chu đáo một ma trận vuông bậc 5: $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 và 2 & 0 và -2 & -14 \ 3 & -17 & -3 & 19 và 29 5 & -6 và 8 và -9 & 41 \ -5 & 11 và 16 & -trăng tròn & -98 \ -7 & 10 & 14 và -36 và 79 over (array) right) $. Hãy chọn hàng tiên phong hàng đầu và số 3 trong những số ấy, cũng như cột số 2 cùng số 5. Tại giao điểm của những sản phẩm và cột này sẽ sở hữu những phần tử của $ M $ nhỏ duy nhất của máy từ máy hai:

*

Bây tiếng họ hãy loại bỏ những mặt hàng tiên phong hàng đầu cùng số 3 với những cột số 2 cùng số 5 khỏi ma trận $ A $, tại giao điểm của bọn chúng bao gồm các thành phần của $ M $ bé dại (các mặt hàng và cột vẫn loại trừ được hiển thị vào red color trong hình mặt dưới). Các phần tử còn sót lại tạo thành $ M nhỏ dại "$:

*

$ M "$ phụ, gồm thiết bị tự $ 5-2 = 3 $, là 1 trong phụ bổ sung cập nhật mang lại $ M $ prúc.

Phần bổ sung đại số mang lại ttốt vị thành niên$ M $ của ma trận vuông $ A_ (n times n) $ là biểu thức $ (- 1) ^ ( alpha) cdot M "$, trong đó $ alpha $ là toàn bô hàng và cột của ma trận $ A $, bên trên đó các thành phần của $ M $ nhỏ vị trí kia với $ M "$ là phần phụ bổ sung mang lại $ M $ nhỏ.

Cụm trường đoản cú "phần bù đại số cho $ M $ phụ" thường được thay thế bằng nhiều từ bỏ "phần bù đại số mang đến $ M $ phụ".

Ví dụ, hãy để mắt tới ma trận $ A $, cơ mà công ty chúng tôi search thấy ma trận vật dụng nhì $ M = left | begin (array) (ccc) 2 và -14 \ -6 và 41 end (array) right | $ cùng bậc lắp thêm ba của nó: $ M "= left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -đôi mươi \ -7 & 14 và -36 end (array ) right | $ Biểu Thị trường bù đại số của $ M $ phụ cùng với $ M ^ * $ Sau đó theo định nghĩa:

$$ M ^ * = (- 1) ^ alpha cdot M ". $$

Tham mê số $ altrộn $ bằng tổng thể mặt hàng cùng cột nơi chứa $ M $ nhỏ. Vị trí nhỏ tuổi này nằm tại vị trí giao điểm của các hàng # 1, # 3 với các cột # 2, # 5. Do kia, $ altrộn = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Cho nên:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) cdot M "= - left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -trăng tròn \ -7 và 14 và -36 end (mảng) bắt buộc |. $$

Về phép tắc, áp dụng công thức số 2 trường đoản cú chủ đề tính toán định thức bậc nhì và bậc cha, bạn cũng có thể chuyển phnghiền tính về cuối, dấn được giá trị $ M ^ * $:

$$ M ^ * = - left | begin (array) (ccc) 3 & -3 và 19 \ -5 và 16 & -đôi mươi \ -7 và 14 và -36 kết thúc (array) right | = -30. $$