Ma Trận Trực Giao Là Gì

Mỗi phần tử của một ma trận thường được cam kết hiệu bằng một phát triển thành cùng với nhì chỉ số ở bên dưới. lấy ví dụ, a2,1 màn biểu diễn bộ phận sinh sống sản phẩm sản phẩm công nghệ nhì với cột đầu tiên của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

quý khách hàng đang xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán thù học tập, ma trận là 1 trong mảng chữ nhật<1>—các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, thu xếp theo sản phẩm và cột<2><3>—mà mỗi ma trận tuân theo gần như luật lệ định trước. Từng ô vào ma trận được hotline là các phần tử hoặc mục. ví dụ như một ma trận bao gồm 2 sản phẩm với 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}


*

Lúc các ma trận bao gồm cùng kích thước (bọn chúng gồm cùng số hàng với thuộc số cột), thì có thể tiến hành phxay cộng hoặc trừ hai ma trận bên trên những phần tử tương ứng của chúng. Dù thế, nguyên tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được lúc ma trận đầu tiên có số cột ngay số mặt hàng của ma trận máy hai. Ứng dụng thiết yếu của ma trận đó là phxay màn trình diễn những thay đổi tuyến đường tính, Tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến đường tính như f(x) = 4x . lấy ví dụ như, phép quay các vectơ trong không khí cha chiều là một trong phxay biến hóa tuyến đường tính nhưng mà có thể biểu diễn bằng một ma trận tảo R: ví như v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) biểu đạt địa điểm của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của đặc điểm này sau phép cù này. Tích của nhị ma trận chuyển đổi là một trong những ma trận màn biểu diễn hòa hợp của nhị phxay thay đổi con đường tính. Một ứng dụng khác của ma trận sẽ là tìm nghiệm của những hệ phương thơm trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, rất có thể nhận được một trong những đặc điểm của nó bằng cách tính định thức của nó. lấy ví dụ như, ma trận vuông là ma trận khả nghịch giả dụ còn chỉ trường hợp định thức của nó không giống ko. Quan niệm hình học tập của một phép đổi khác tuyến tính là nhận ra (cùng với hồ hết ban bố khác) từ trị riêng rẽ cùng vec tơ riêng rẽ của ma trận.

Có thể thấy áp dụng của triết lý ma trận vào phần lớn các lĩnh vực kỹ thuật. Trong từng nhánh của đồ lý học, bao gồm cơ học truyền thống, quang học, điện tự học, cơ học tập lượng tử, và điện hễ lực học lượng tử, chúng được thực hiện nhằm phân tích các hiện tượng kỳ lạ trang bị lý, như chuyển động của trang bị rắn. Trong giao diện laptop, ma trận được sử dụng để chiếu một hình họa 3D lên screen 2 chiều. Trong lý thuyết Tỷ Lệ cùng thống kê lại, những ma trận hốt nhiên được sử dụng để diễn tả tập thích hợp các xác suất; ví dụ, bọn chúng cần sử dụng vào thuật toán PageRank để xếp hạng những trang vào lệnh kiếm tìm kiếm của Google.<4> Phép tính ma trận tổng thể hóa các tư tưởng vào giải tích nhỏng đạo hàm với hàm nón đối với số chiều to hơn.

Một nhánh thiết yếu của giải tích số dành nhằm cải cách và phát triển các thuật toán có ích cho những tính toán thù ma trận, một chủ thể sẽ hàng nghìn năm tuổi với là một trong những nghành nghề nghiên cứu và phân tích rộng thời nay. Phương thơm pháp khai triển ma trận làm cho dễ dàng hóa những tính toán thù cả về mặt định hướng lẫn thực hành. Những thuật toán thù dựa vào hồ hết cấu tạo của các ma trận đặc biệt, nlỗi ma trận thưa (sparse) với ma trận ngay gần chéo, giúp xử lý gần như tính toán vào cách thức bộ phận hữu hạn cùng đều tính tân oán khác. Ma trận vô hạn lộ diện trong cơ học tập thiên thể cùng lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản dễ dàng về ma trận vô hạn là ma trận màn trình diễn những toán tử đạo hàm, mà tác dụng cho chuỗi Taylor của một hàm số.

1 Định nghĩa 1.1 Độ Khủng 2 Lịch sử 3 Ký hiệu 4 Các phxay toán thù cơ bạn dạng 4.1 Phép cộng, nhân một trong những cùng với ma trận, cùng ma trận đưa vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phép toán thù mặt hàng 4.4 Ma trận bé 5 Pmùi hương trình con đường tính 6 Biến thay đổi con đường tính 7 Ma trận vuông 7.1 Các nhiều loại ma trận đặc trưng 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch cùng nghịch đảo của nó 7.1.5 Ma trận xác định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Các tính tân oán hầu hết 7.2.1 Vết 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch hòn đảo 7.2.4 Vectơ riêng biệt cùng trị riêng rẽ 8 Khía cạnh tính tân oán 9 Phân tích ma trận 10 Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa 10.1 Ma trận cùng với các phần tử mở rộng 10.2 Mối contact với ánh xạ tuyến tính 10.3 Nhóm ma trận 10.4 Ma trận rỗng 11 Ứng dụng 11.1 Lý thuyết đồ vật thị 11.2 Giải tích với hình học 11.3 Lý tmáu Xác Suất cùng những thống kê 11.4 Đối xứng cùng những đổi khác trong đồ dùng lý học 11.5 Tổ thích hợp con đường tính của những tâm lý lượng tử 11.6 Dao hễ riêng 11.7 Quang hình học 11.8 Điện tử học tập 12 Tyêu thích khảo 13 Tđắm say khảo 13.1 Tmê mệt khảo về đồ lý 13.2 Tđắm đuối khảo về lịch sử dân tộc 14 Liên kết bên cạnh

Định nghĩa

Ma trận là 1 mảng chữ nhật đựng những số hoặc đều đối tượng người sử dụng toán thù học không giống, cơ mà có thể định nghĩa một trong những phxay toán thù nhỏng cùng hoặc nhân bên trên những ma trận.<5> Hay gặp gỡ tuyệt nhất chính là ma trận bên trên một trường F là một trong mảng chữ nhật cất các đại lượng vô hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cập đến các ma trận thực cùng phức, Tức là các ma trận cơ mà các phần tử của chính nó là hầu hết số thực hoặc số phức. Những một số loại ma trận tổng thể rộng được luận bàn làm việc dưới. lấy một ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6 răng tròn,4&5,59,7&-6,2end}.}



Các số, cam kết hiệu xuất xắc biểu thức vào ma trận được call là những thành phần của nó. Các mặt đường theo pmùi hương ngang hoặc phương dọc đựng các thành phần vào ma trận được call khớp ứng là mặt hàng với cột.

Độ to

Độ to xuất xắc cỡ của ma trận được quan niệm bởi số lượng hàng với cột nhưng mà ma trận tất cả. Một ma trận m hàng cùng n cột được Gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m với n được điện thoại tư vấn là chiều của chính nó. lấy ví dụ, ma trận A sinh sống bên trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ tất cả một sản phẩm Gọi là vectơ mặt hàng, và đầy đủ ma trận chỉ bao gồm một cột Điện thoại tư vấn là vectơ cột. Ma trận bao gồm thuộc số sản phẩm và số cột được điện thoại tư vấn là ma trận vuông. Ma trận gồm vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được Gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trong những ngôi trường phù hợp, như công tác đại số máy tính, đã hữu ích Khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên Điện thoại tư vấn Độ lớn Ví dụ Miêu tả Vectơ mặt hàng 1 × n 3&7&2end}}




Ma trận tất cả một cột, thỉnh thoảng được dùng làm biểu diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}



Ma trận bao gồm cùng số hàng cùng số cột, nó được sử dụng để màn biểu diễn phnghiền đổi khác con đường tính xuất phát từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phnghiền phản xạ, phép con quay hoặc ánh xạ giảm.

Lịch sử

Ma trận gồm một lịch sử dân tộc dài về vận dụng trong giải các pmùi hương trình con đường tính tuy vậy chúng được biết đến là những mảng cho đến tận trong thời điểm 1800. Cuốn nắn sách Cửu chương thơm tân oán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến đường tính,<8> bao gồm có mang về định thức. Năm 1545 đơn vị toán học tập bạn Ý Girolamo Cardano giới thiệu cách thức giải này vào châu Âu khi ông ra mắt quyển Ars Magna.<9> Nhà tân oán học tập Nhật Bản Seki sẽ áp dụng cách thức mảng này để giải hệ phương trình vào thời điểm năm 1683.<10> Nhà tân oán học Hà Lan Jan de Witt lần thứ nhất màn biểu diễn các chuyển đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> Giữa các năm 1700 cùng 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz ra mắt cách thức sử dụng các mảng để đánh dấu thông tin xuất xắc tra cứu nghiệm cùng nghiên cứu bên trên 50 các loại ma trận khác nhau.

Xem thêm: Tải Phần Mềm Gõ 10 Ngón Trên Máy Tính, Top Phần Mềm Luyện Gõ 10 Ngón Trên Máy Tính

<9> Cramer giới thiệu quy tắc của ông vào năm 1750.

Thuật ngữ trong giờ đồng hồ Anh “matrix” (giờ đồng hồ Latin là “womb”, dẫn xuất từ bỏ mater—mẹ<12>) bởi James Joseph Sylvester nêu ra vào khoảng thời gian 1850,<13> Lúc ông nhận thấy rằng ma trận là một trong đối tượng người dùng có tác dụng lộ diện một số định thức cơ mà thời nay Hotline là phần phú đại số, Tức là định thức của không ít ma trận bé dại hơn chiếm được trường đoản cú ma trận ban đầu bằng phương pháp xóa đi những sản phẩm cùng các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã định nghĩa vào bài xích báo trước về “Ma trận” là 1 trong những mảng chữ nhật cất những phần tử, mà lại đông đảo định thức khác nhau hoàn toàn có thể giới thiệu định thức của ma trận mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một siêng luận về những phxay biến hóa hình học tập thực hiện ma trận ngoài những phép biến đổi xoay đã có được điều tra trước kia. Tgiỏi vào kia, ông định nghĩa các phép toán nlỗi cộng, trừ, nhân cùng phân chia hầu hết ma trận này cùng chứng tỏ những luật lệ phối kết hợp cùng phân phối vẫn được thỏa mãn nhu cầu. Cayley đang nghiên cứu và phân tích cùng minh chứng đặc thù không giao hoán thù của phép nhân ma trận cũng như tính giao hân oán của phép cộng ma trận.<9> Lý thuyết ma trận sơ knhì bị số lượng giới hạn sống bí quyết thực hiện các mảng cùng tính định thức với những phxay tân oán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley vẫn làm ra cuộc biện pháp mạng mang đến định hướng này. Ông vận dụng định nghĩa ma trận mang đến hệ pmùi hương trình tuyến đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký kết về định hướng ma trận<15><16> trong những số ấy ông nêu ra và chứng tỏ định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà toán thù học fan Anh Cullis là người thứ nhất thực hiện cam kết hiệu ngoặc tiến bộ mang đến ma trận vào khoảng thời gian 1913 với ông cũng viết ra ký kết hiệu đặc trưng A = để trình diễn một ma trận cùng với ai,j là phần tử ở hàng thứ i cùng cột vật dụng j.<9>

Quá trình nghiên cứu và phân tích định thức khởi nguồn từ một số trong những nguồn khác biệt.<17> Các bài xích toán số học dẫn Gauss đi tới tương tác các thông số của dạng toàn pmùi hương, đông đảo đa thức có dạng x2 + xy − 2y2, cùng ánh xạ tuyến tính trong không gian cha chiều cùng với ma trận. Eisenstein đang phát triển xa rộng những định nghĩa này, với dìm xét Theo phong cách vạc biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hân oán. Cauchy là tín đồ trước tiên chứng minh rất nhiều mệnh đề tổng quát về định thức, Lúc ông áp dụng tư tưởng như sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy thừa ajk bằng ajk vào nhiều thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i
cùng với Π cam kết hiệu tích những hệ số đứng phía sau. Ông cũng chứng minh vào thời điểm năm 1829 rằng quý giá riêng biệt của các ma trận đối xứng là thực.<18> Jacobi nghiên cứu và phân tích “định thức hàm”—mà lại về sau đổi mới định thức Jacobi nhỏng biện pháp Call của Sylvester—nó được ứng dụng nhằm nghiên cứu những thay đổi hình học tại mức toàn bộ (xuất xắc vô cùng bé); bài báo Vorlesungene über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> và Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhị đông đảo được chào làng vào năm 1903, lần trước tiên đã coi định thức Theo phong cách định đề hóa, trở lại so với cách tiếp cận cụ thể ở đầy đủ lần trước đó như trong công thức của Cauchy.

hầu hết định lý ban sơ chỉ tuyên bố cho các ma trận bé dại, ví nlỗi định lý Cayley–Hamilton được chứng tỏ đến ma trận 2×2 nlỗi Cayley chỉ ra rằng trong luận án của bản thân mình, cùng do Hamilton mang đến ma trận 4×4. Frobenius, dựa trên các dạng song tuyến tính, đang tổng thể định lý quý phái số đông kích cỡ (1898). Cũng vào vào cuối thế kỷ 19 phương pháp khủ Gauss–Jordan (tổng quát hóa đến ngôi trường hòa hợp đặc biệt quan trọng sẽ là phnghiền khử Gauss) vì chưng nhà trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới mức phương châm trung trung khu trong đại số tuyến tính,<21> một phần nhờ ứng dụng của chính nó vào phân một số loại hệ thống số khôn xiết phức trong nuốm kỷ trước.

Sự mở màn của cơ học tập ma trận vị các nhà vật dụng lý Heisenberg, Born và Jordan nêu ra đã dẫn đến nghiên cứu và phân tích về ma trận gồm vô hạn mặt hàng cùng cột.<22> Later, von Neumann sẽ thiết lập cấu hình lên tuyên bố toán học của cơ học tập lượng tử, bằng cách trở nên tân tiến xa hơn các tư tưởng của giải tích hàm nhỏng toán thù tử tuyến tính trong không gian Hilbert, mà, nói sơ sài, tương xứng cùng với không gian Euclide, cơ mà tất cả vô hạn hướng độc lập.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}