Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác


Đường thẳng trải qua trung điểm của một đoạn trực tiếp đó call là mặt đường trung tuyến đường của đoạn thẳng.

Bạn đang xem: Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

Đoạn thẳng đi tự đỉnh của tam giác cho tới trung điểm của cạnh đối lập gọi là đường trung tuyến của tam giác. Lý lẽ mỗi tam giác đều sở hữu ba con đường trung tuyến.

Dưới đây là công thức chi tiết tính độ dài con đường trung tuyến:

Công thức tính độ dài con đường trung tuyến được xem bằng căn bậc 2 của một trong những phần 2 tổng bình phương nhì cạnh kề. Sau đó trừ đi một phần tư bình phương cạnh đối.

Công thức minh họa:


*

Trong đó:

a,b,c theo lần lượt là những cạnh trong một tam giác.

ma,mb,mc theo lần lượt là các đường trung tuyến đường trong tam giác đó.

2. đặc điểm đường trung tuyến trong 3 tam giác thường, vuông, cân

Đường trung tuyến trong mỗi tam giác sẽ sở hữu được từng tính chất khác nhau. Tiếp sau đây là cụ thể từng tính chất trong từng tam giác.

Tam giác thường:

Trong 1 tam giác, 3 đường trung đường giao nhau gọi là trọng tâm.

Vị trí giữa trung tâm trong tam giác: giữa trung tâm của tam giác biện pháp đều mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ nhiều năm của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tam giác vuông:

Đường trung tuyến đường của một tam giác vuông ứng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

Tam giác vuông là tam giác bao gồm đường trung tuyến đường ứng với cùng 1 cạnh bằng nửa cạnh đó.

Tam giác cân:

Đường trung trực là mặt đường trung đường ứng trường đoản cú góc đỉnh vuông góc với cạnh lòng tương ứng.

Đường phân giác là đường trung tuyến ứng trường đoản cú góc đỉnh chia góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau.

3. Bài bác tập minh họa

Bài tập 1: Tam giác MNP cho thấy NP = 20cm, PM = 16cm, MN = 14cm. Anh/chị hãy tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác MNP.


*

Bài làm

Gọi:

NP, PM, MN thứu tự là a, b, c

ma, mb, mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến đường từ đông đảo đỉnh M, N, p. Của ∆MNP

Áp dụng bí quyết tính đường trung tuyến trong tam giác làm việc phía trên, ta có:


*

Do độ nhiều năm đoạn trực tiếp là độ dài những đường trung tuyến, chính vì vậy ta có:


*

Bài tập 2: cho tam giác MNP cân nặng ở M có MB = MC = 17cm, NP= 16cm. Kẻ trung tuyến MI.

a) Chứng minh: mi ⊥ NP;

b) Tính độ dài MI.

Bài làm:

a. Bởi vì MI là đường trung tuyến MNP

=> IP = IN

Mặt không giống tam giác MNP cân nặng tại M

=> mi vừa là mặt đường trung tuyến đường vừa là mặt đường cao

=> mày ⊥ NP

b. Ta có:

NP = 16cm đề nghị NI = PI = 8cm

MN = MP = 17cm

Xét tam giác MIP vuông trên I

Áp dụng Định lý Pitago, ta có:

MP2 = MI2 + IP2

=> 192= MI2 + 82

=> MI2 = 172 - 82 = 225

=> ngươi = 15cm.

Bài tập 3: cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung đường BE và CD giảm nhau tại G. Kéo dãn AG giảm BC tại điểm H. Anh/ chị hãy:

a. đối chiếu 2 tam giác AHB và AHC.


b. M cùng N thứu tự là trung điểm của GA với GC. Hãy chứng minh rằng AN, BE, centimet đồng quy ở một điểm.

Bài làm:

a. Ta có:

BE cùng CD là 2 mặt đường trung tuyến của tam giác ABC

Mà BE giảm CD tại G

=> trọng tâm của tam giác ABC là G

Mặt không giống AH đi qua G

=> Đường trung tuyến của tam giác ABC là AH

Xét 2 tam giác AHB với AHC, có:

AB = AC

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (cạnh - cạnh - cạnh)

b. Vì MA = MG

=> cm là đường trung tuyến đường của tam giác AGC (1)

Mặt không giống NG = NC

=> AN là con đường trung con đường của tam giác AGC (2)

GE là mặt đường trung đường của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) = > 3 đường AN, CM, BE đồng quy.

Bài tập4: mang lại tam giác MNK tất cả MK = MN. Gọi E là giao điểm của hai tuyến đường trung tuyến NI và KP. Hãy triệu chứng minh:

a)Tam giác NIK cùng tam giác KPN bởi nhau

b) EN = EK

c) NK

Bài làm:

a) Ta có: MK=MN

NI là con đường trung đường của tam giác MNK

=> NI = ½ MN (1)

KP là mặt đường trung tuyến đường của tam giác MNK

=> KP = ½ MK (2)

Từ (1), (2) => NI=KP

Xét tam giác NIK với tam giác KPN, ta có:

NK là cạnh chung

NI = KP

góc KNP = góc NKI (tam giác MNK cân tại M)

=> ΔNIK = ΔKPN (cạnh - góc - cạnh)

b) Ta có:

góc INK= góc PKN (Vì ΔNIK = ΔKPN)

Nên tam giác ENK cân tại E

Suy ra EN = EK

c) Xét ΔMNK ta có:

IM = IK (NI là mặt đường trung tuyến)

PM = PN (KP là mặt đường trung tuyến)

Suy ra IP là mặt đường trung bình của tam giác MNK

=> IP = NK/2

Xét tam giác IPE có

IP

PE = chiến tranh - EK

=> NK/2

ΔNIK = ΔKPN => KP = NI (4)

Tam giác ENK cân tại E => EN = EK (5)


Từ (3), (4), (5) => NK/2

=> NK/2

=> NK

Trên đó là thông tin về công thức mặt đường trung tuyến . Hi vọng với những share trên của công ty chúng tôi sẽ giúp cho bạn thuận tiện hơn trong quy trình làm bài.

Xem thêm: Cấu Tạo Của Tim Sinh Học 8 Bài 17: Tim Và Mạch Máu, Sinh Học 8 Bài 17: Tim Và Mạch Máu


Trong chương trình toán 7 môn hình học, các bạn đã được học về mặt đường trung tuyến đường và các tính chất, định lý của con đường trung tuyến trong tam giác. Kiến thức và kỹ năng này được củng nỗ lực lại sinh hoạt lớp 10. Mặc dù nhiên, đa số chúng ta đang bị lộn lạo giữa có mang đường trung tuyến đường và mặt đường trung trực. Vậy đường trung tuyến đường là gì? Hãy đọc nội dung bài viết dưới đây để có câu trả lời không hề thiếu nhất về con đường trung tuyến.

Đường trung đường là gì?

Đường trung đường của đoạn thẳng

Đường trung tuyến đường của đoạn thẳng là mặt đường thẳng trải qua trung điểm của đoạn trực tiếp đó

Đường trung con đường của tam giác

Đường trung con đường của tam giác là đoạn thẳng gồm một đầu là đỉnh của tam giác, đầu cơ là trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác ngẫu nhiên đều gồm 3 mặt đường trung tuyến.


*

3 mặt đường trung đường của tam giác

Tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC thì AD là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, nếu D,E,F thứu tự là trung điểm của tía cạnh BC,AC,AB. Thì AD,CE,BF là cha đường trung tuyến đường của tam giác ABC.

Công thức, đặc điểm của con đường trung tuyến trong tam giác

Tính chất đường trung con đường trong tam giác thường

Ba đường trung đường của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được hotline là giữa trung tâm của tam giác.Trọng tâm của tam giác giải pháp mỗi đỉnh một khoảng tầm bằng 2/3 độ dài mặt đường trung tuyến trải qua đỉnh ấy.Khoảng biện pháp từ trọng tâm đến trung điểm của từng cạnh bởi 1/3 đường trung tuyến tương xứng với điểm đó.

Tính hóa học đường trung đường trong tam giác vuông


ABC vuông có AD là trung tuyến đường ứng với cạnh huyền BC

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại, trường hợp trung tuyến đường AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A

Tính chất:

Trong tam giác vuông, trung con đường ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.Một tam giác bao gồm trung tuyến đường ứng với cùng một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.Đường trung đường của tam giác vuông có tương đối đầy đủ các đặc thù của một đường trung đường tam giác.

Tính chất đường trung con đường trong tam giác cân


Đường trung đường trong tam giác cân

ABC cân nặng tại A tất cả đường trung con đường AD ứng với cạnh BC=> AD ⊥ BC với ΔADB = ΔADC

Tính chất:

Đường trung tuyến ứng với cạnh lòng thì vuông góc với cạnh đáy. Và phân tách tam giác thành 2 tam giác bởi nhau.

Tính hóa học đường trung đường trong tam giác đều


Đường trung con đường trong tam giác đều

ΔABC số đông => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB= SBFA= SBFC

Tính chất:

3 đường trung tuyến đường của tam giác phần đông sẽ chia tam giác kia thành 6 tam giác có diện tích s bằng nhau.Trong tam giác gần như đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua giữa trung tâm của tam giác sẽ phân tách tam giác kia thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Công thức độ dài của đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bởi định lý Apollonnius:


Công thức tính độ dài con đường trung tuyến

Với ma là trung tuyến ứng cùng với cạnh a trong tam giác

mb là trung đường ứng với cạnh b vào tam giác

mc là trung tuyến đường ứng với cạnh c vào tam giác

Trong đó:

a, b, c: là các cạnh của tam giác.ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

Các dạng bài bác tập về đường trung con đường thường gặp

Dạng 1: Tìm những tỉ lệ giữa những cạnh, tính độ lâu năm đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý mang đến vị trí giữa trung tâm của tam giác

Với G là trung tâm của tam giác ABC với AB, BE, CF là 3 mặt đường trung tuyến, ta có

AG = 2/3AD; BG = 2/3BE; CG = 2/3CF

Dạng 2: Đường trung con đường với những tam giác quan trọng ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

Trong tam giác cân nặng (hoặc tam giác đều), trung đường ứng với cạnh đáy và phân chia tam giác thành nhị tam giác bằng nhau.

Bài tập ví dụ như về đường trung tuyến đường trong tam giác

Bài 1: mang đến tam giác ABC cân nặng ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;b) Tính độ dài AM.

Lời giải:


a. Ta có AM là mặt đường trung tuyến đường ABC phải MB = MC

Mặt khác ABC cân tại A

=> AM vừa là con đường trung tuyến đường vừa là đường cao

Vậy AM ⊥ BC

b. Ta có

BC = 16cm đề nghị BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng Định lý Pitago có:

AC2 = AM2 + MC2 => 172= AM2 + 82 => AM2 = 172- 82= 225 =>AM= 15Cm.

Bài 2: Cho G là trọng trung tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Bài giải:

Gọi AD, CE, BF là những đường trung tuyến đường tam giác ABC tốt D, E, F theo lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC


Ta gồm AD là mặt đường trung đường tam giác ABC phải AG= 2/3AD (1)

CE là con đường trung tuyến tam giác ABC cần CG= 2/3CE(2)


BF là con đường trung con đường tam giác ABC buộc phải BG= 2/3BF(3)

Ta bao gồm ΔBAC các =>AD = BF = CE (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra AG = BG = CG

Bài 3: mang lại tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao để cho AD = AB. Trên cạnh AC đem điểm E làm thế nào cho AE =1/3AC. Tia BE cắt CD nghỉ ngơi M. Minh chứng :

a) M là trung điểm của CDb) AM = 12BC.

Bài giải: Ta tất cả hình vẽ:


a, Xét: ΔBDC bao gồm AB = AD suy ra AC là mặt đường trung tuyến đường tam giác BCD

Mặt khác:

AE = 1/3AC => CE = 2/3AC.

=> E là trọng tâm Δ BCD

M là giao của BE cùng CD

Vậy BM là trung tuyến Δ BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b, A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

=> AM là con đường trung bình của Δ BDC

=> AM = 1/2BC

Bài 4: mang đến tam giác ABC vuông ngơi nghỉ A, bao gồm AB = 18cm, AC = 24cm, trung tâm G. Tính tổng khoảng cách từ điểm G đến những đỉnh của tam giác.

Bài giải: ta gồm hình vẽ:


Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung đường nối trường đoản cú đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta bao gồm tam giác ABC vuông tại A, vận dụng định lý Pitago ta có

BC2= AB2+ AC2=> BC2= 182+ 242= 900=> BC= 30

Ta gồm ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền cần AD = BD = DC = 15cm

Suy ra AG = 2/3AD = 10cm

Xét Δ AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2= AE2+ AC2=> EC2= 92+ 242= 657=> EC= 3√73cm=>CG = 2/3EC= 2√73cm

Tương tự, xét AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2= AB2+ AF2=> BF2= 182+ 122= 468=> BF= 6√13cm=>BG = 2/3BF= 4√13cm

Tổng khoảng cách từ giữa trung tâm G đến những đỉnh của tam giác là:

AG+BG+CG= 10+ 4√13+ 2√73 cm

Bài 5: cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung con đường BD cùng CE cắt nhau trên G. Kéo dãn dài AG giảm BC trên H.

a, so sánh tam giác AHB và tam giác AHCb, gọi Kvà I theo thứ tự là trung điểm của GC và GA. Chứng tỏ rằng AK, BD, CI đồng quy

Bài giải: Ta bao gồm hình vẽ:


a, Ta có BD là mặt đường trung tuyến đường của tam giác ABC

CE là mặt đường trung tuyến đường của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH trải qua G đề nghị AH là đường trung tuyến đường của tam giác ABC

=>HB = HC

Xét ΔAHB với Δ AHC có:

AB = AC (ABC cân nặng tại A)

AH chung

HB = HC

=>Δ AHB = ΔAHC (c-c-c)

b, Ta gồm IG = IA cần CI là mặt đường trung tuyến của ΔAGC (1)

Lại tất cả KC = KG buộc phải AK là con đường trung tuyến của ΔAGC (2)

DG là đường trung con đường của AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 mặt đường trung đường AK, CI, DG đồng quy tại I

Thông qua bài viết này, hy vọng chúng ta đã nỗ lực được kiến thức và kỹ năng về đường trung tuyến, tính chất của nó để áp dụng vào giải bài xích tập nhanh và đúng mực nhất.


Tải thêm tài liệu liên quan đến bài viết Cách tính độ dài mặt đường trung con đường trong tam giác