Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá chỉ tị lớn số 1 (GTLN) với giá trị bé dại nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức đựng dấu căn, biểu thức cất dấu cực hiếm tuyệt đối,…) là một trong những dạng toán lớp 9 có khá nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong những bài toán.

Bạn đang xem: Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một trong những cách tìm giá bán trị lớn số 1 (GTLN, Max) cùng giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, cất dấu cực hiếm tuyệt đối,…) qua một số trong những bài tập minh họa cố thể.


° Cách tìm giá bán trị phệ nhất, giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 trở thành số)

– mong mỏi tìm giá chỉ trị lớn nhất hay giá chỉ trị nhỏ dại nhất của một biểu thức ta bao gồm thể đổi khác biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).


* lấy ví dụ như 1: mang đến biểu thức: A = x2 + 2x – 3. Tìm kiếm GTNN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = x2 + 2x – 3 = x2 + 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1)2 – 4

– vày (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 – 4 ≥ -4

⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

– Kết luận: Amin = -4 khi còn chỉ khi x = -1.

* ví dụ như 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x – 5. Search GTLN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = -x2 + 6x – 5 = -x2 + 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3)2 + 4 = 4 – (x – 3)2

– vì (x – 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x – 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3)2 ≤ 4

⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

– Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ còn khi x = 3.

* lấy ví dụ 3: Cho biểu thức: 

– search x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

– Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất.

– Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

– Vì (x + 1)2 ≥ 0 cần (x + 1)2 + 4 ≥ 4

dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy

*

*

° Cách tìm giá trị khủng nhất, giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức cất dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 phát triển thành số)

– cũng như như phương pháp tìm ở cách thức trên, vận dụng đặc thù của biểu thức ko âm như:

*
 hoặc 
*

– vệt “=” xẩy ra khi A = 0.

Xem thêm: Top 6+ Phần Mềm Quét Số Điện Thoại Trên Website Miễn Phí, Cách Lấy Số Điện Thoại Từ Website Miễn Phí

* lấy một ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta thấy: 

*

*

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 + 3 ≥ 3

nên 

*
 dấu “=” xẩy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta có: 

*

*

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x – 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x – 1)2 + 5 ≤ 5

nên 

*
 dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

– Ta có:

*

*

*

*

*
 nên giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của B là 
*
 đạt được khi:

* ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥0

– Để A đạt giá bán trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá trị bé dại nhất

– Ta có: 

*

Lại có: =0,forall x>=0" />=frac74,forall x>=0" />

Dấu”=” xẩy ra khi 

*

– Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá chỉ trị khủng nhất, giá bán trị bé dại nhất của biểu thức cất dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 trở thành số)

– câu hỏi này cũng chủ yếu nhờ vào tính không âm của trị xuất xắc đối.

* ví dụ 1: kiếm tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| ≤ 5

Dấu “=” xảy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* lấy một ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 – x| – 3

° Lời giải:

– Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 ≥ -3

Dấu “=” xẩy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9

Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các chuyển đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tốt đối,…) với hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều vấn đề phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b ko âm: 

*
 (Dấu “=” xẩy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu quý hiếm tuyệt đối:
*
 (dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a.b≤ 0).

* lấy một ví dụ 1: Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

– vày a,b>0 nên 

– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn call là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).

Dấu “=” xẩy ra khi 

– Kết luận: giá trị nhỏ tuổi nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* ví dụ 2: Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– do a > 1 yêu cầu a – 1 > 0 ta có:

*
 <Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được>

=2sqrt(a-1)left ( frac1a-1 ight )+1=2+1=3" />

Dấu “=” xẩy ra khi 

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; một số loại a = 0.

– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá chỉ trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức sinh hoạt trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này.

Việc vận dụng vào mỗi bài xích toán đòi hỏi kỹ năng có tác dụng toán của những em, kĩ năng này có được khi những em chịu khó rèn luyện trải qua không ít bài tập, chúc các em học tập tốt.